c.

Từ câu b ta có AICD là hình vuông \(\Rightarrow CI\perp AB\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CI\)

\(\Rightarrow CI\perp\left(SAB\right)\)

Lại có \(CI\in\left(SCI\right)\Rightarrow\left(SCI\right)\perp\left(SAB\right)\)

d.

I là trung điểm AB \(\Rightarrow CI\) là trung tuyến ứng với AB

Lại có \(CI=AD=a\) (AICD là hình vuông) \(\Rightarrow CI=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C

\(\Rightarrow BC\perp AC\) (1)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

\(BC\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SAC\right)\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Mà \(CD=\left(SCD\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\)

b.

Gọi E là giao điểm AC và DI

I là trung điểm AB \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow AI=DC\)

\(\Rightarrow AICD\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{A}=90^0\Rightarrow AICD\) là hình chữ nhật

\(AI=AD=a\) (hai cạnh kề bằng nhau) \(\Rightarrow AICD\) là hình vuông

 \(\Rightarrow AC\perp DI\) tại E

Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp DI\Rightarrow DI\perp\left(SAE\right)\)

Mà \(DI=\left(SDI\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDI) và (ABCD)

\(AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AD^2+CD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow\widehat{SEA}\approx50^046'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SAD\right)\)

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)

\(BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AC^2+BC^2=AB^2\Rightarrow AC\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

b.

\(CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD) 

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=30^0\Rightarrow SA=AD.tan30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

Qua S kẻ đường thẳng d song song AD

Do \(AD||CE\) \(\Rightarrow\) d là giao tuyến (SAD) và (SCE)

Mà \(d\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\widehat{ASE}\) là góc giữa (SAD) và (SCE)

\(AE=\dfrac{AB}{2}=a\)

\(tan\widehat{ASE}=\dfrac{AE}{SA}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ASE}=60^0\)

Đề bài thiếu chi tiết định dạng điểm S nên không giải được (ví dụ phải thêm SA vuông góc mặt đáy hoặc gì đó tương tự)

3.

a.

 \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

b.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow IM||AC\)

\(\Rightarrow AC||\left(SIM\right)\Rightarrow d\left(AC;SI\right)=d\left(AC;\left(SIM\right)\right)=d\left(A;\left(SIM\right)\right)\)

Qua A kẻ đường thẳng song song BC cắt IM kéo dài tại K

\(\Rightarrow IM\perp AK\Rightarrow IM\perp\left(SAK\right)\)

Trong mp (SAK), kẻ AH vuông góc SK

\(\Rightarrow AH\perp\left(SIM\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SIM\right)\right)\)

\(AK=CM=\dfrac{b}{2}\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AK}{\sqrt{SA^2+AK^2}}=\dfrac{\dfrac{h.b}{2}}{\sqrt{h^2+\dfrac{b^2}{4}}}=\dfrac{bh}{\sqrt{b^2+4h^2}}\)

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (SAD)

\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\)

2.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) các tam giác SAB và SAC vuông

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\Rightarrow\) Tam giác SBC vuông

Vậy tứ diện có 4 mặt đều là tam giác vuông (ABC hiển nhiên vuông theo giả thiết)

B là khẳng định sai

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

\(CD=\left(SCD\right)\cap\left(BCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SDC) và (BCD)

\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{SDA}\approx54^044'\)

0

a) Ta có {AB⊥ADAB⊥SA⇒AB⊥(SAD)⇒(SAB)⊥(SAD){AB⊥ADAB⊥SA⇒AB⊥(SAD)⇒(SAB)⊥(SAD).

b) Ta có {BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB){BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB).

Suy ra góc giữa SCSC và (SAB)(SAB) là góc ˆCSBCSB^.

Xét tam giác SABSAB vuông tại AA có SB=√AB2+SA2=a√3SB=AB2+SA2=a3. tanˆCSB=CBSB=aa√3=1√3⇒ˆCSB=30∘tan⁡CSB^=CBSB=aa3=13⇒CSB^=30∘.

Vậy ˆ(SC,(SAB))=30∘(SC,(SAB))^=30∘

c) Gọi MMlà trung điểm ADAD.

Suy ra ABCMABCM là hình vuông và CM=AB=aCM=AB=a.

Suy ra CM=12ADCM=12AD nên ΔACDΔACD vuông tại CC hay AC⊥CDAC⊥CD.

Ta có {CD⊥ACCD⊥SA⇒CD⊥(SAC){CD⊥ACCD⊥SA⇒CD⊥(SAC).

Kẻ AK⊥SC (K∈SC)AK⊥SC (K∈SC)

⇒AK⊥(SCD)⇒d(A,(SCD))=AK⇒AK⊥(SCD)⇒d(A,(SCD))=AK.

AC=√AB2+BC2=a√2AC=AB2+BC2=a2.

Do đó d(A,(SCD))=AK=SA.AC√SA2+AC2=ad(A,(SCD))=AK=SA.ACSA2+AC2=a. (∗)(∗)

Trong (ABCD)(ABCD), gọi {E}=AB∩CD{E}=AB∩CD.

Ta có ⎧⎨⎩BC//ADBC=12AD{BC//ADBC=12AD nên BCBC là đường trung bình của ΔEADΔEAD.

⇒SB⇒SB là đường trung tuyến của ΔSAEΔSAE. (1)(1)

Mặt khác, tam giác ΔSAEΔSAE vuông tại AA có chiều cao AHAH cho ta SH.SB=SA2 ⇒ SHSB=SA2SB2=23SH.SB=SA2 ⇒ SHSB=SA2SB2=23 (2)(2)

Từ (1)(1) và (2)(2) suy ra HH là trọng tâm tam giác ΔSAEΔSAE.

Trong (SAE)(SAE), gọi {L}=AH∩SE⇒⎧⎨⎩AH∩(SCD)={L}LHLA=13{L}=AH∩SE⇒{AH∩(SCD)={L}LHLA=13.

⇒d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗)⇒d(H,(SCD))d(A,(SCD))=LHLA=13 (∗∗).

Từ (∗)(∗) và (∗∗)(∗∗) suy ra d(H,(SCD))=a3d(H,(SCD))=a3.

mu